· CMI 官方公告 · 解答已宣布
克雷研究所写道：Navier–Stokes 问题 “has apparently been settled”（似乎已获解决），并期待数学界分析、深入检视这项工作的创新。公告没有宣布千禧年奖已授予；原始证明稿的具体范围另列于下方，不把两种来源混成一次最终裁定。
阅读官方公告原文HUMANITY’S OPEN ISSUES
VOL. 001 ／ STILL OPEN
PROOF
NOT FOUND.
404THE PAGE EXISTS.
THE PROOF DOESN’T.
THE PROOF DOESN’T.
时间一直在走，
证明还没到。
We have time.
We don’t have proof.
2025年 / YEARS
294天 / DAYS
23时 / HOURS
08分 / MINS
04秒 / SECS
63,928,307,284 SECONDS AND COUNTING
时间的起点，不是猜想的起点。计时说明
01 / THE OPEN FILES
等待中的问题38
有些还没答案。
有些正迎来转机。
置顶 / 六项千禧年关注
CMI MILLENNIUM PRIZE按 CMI 当前总览顺序：NS 的 Active 在前，其后五项为 Unsolved。2026-09-11，CMI 公告称 NS “has apparently been settled”；本页用 102 单独标注“解答已宣布”，不将它混作普通 404，也不冒称千禧年奖已评定。官方公告 ↗
BSD 猜想Birch and Swinnerton-Dyer conjecture 1960s不虚构精确起点 404 未解决
rank E(ℚ) = ordₛ₌₁ L(E,s)数论与算术几何
一条椭圆曲线上，有多少彼此独立的有理点？
对于定义在有理数上的椭圆曲线，猜想把有理点群的秩与其 L 函数在 s = 1 的零点阶数联系起来：一个算术问题，居然由一个解析函数的行为来回答。
这里的“秩”不是简单地数出所有点。完整 BSD 猜想还预言首个非零 Taylor 系数与若干算术不变量之间的公式；一些情形已有深刻结果，但一般情形仍由 CMI 列为 Unsolved。
霍奇猜想Hodge conjecture 1950—已等待约 76 年 404 未解决
Hdgᵖ(X) = spanℚ[代数循环]代数几何
拓扑上看见的某些形状，真的能由代数方程拼出来吗？
对于光滑复射影代数簇，每个有理 (p,p) 型上同调类，是否都能写成代数循环之类的有理线性组合？这把代数方程的几何与空间的拓扑结构联系起来。
“有理系数”“光滑”“复射影”都是命题的重要条件。整数系数的类似说法并非这道千禧年题，并且已有反例。CMI 的一般霍奇猜想仍列为 Unsolved。
P vs NPFinding vs. checking 1971—已等待约 55 年 404 未解决
P ≟ NP计算复杂性
容易检查的答案，也一定容易找到吗？
如果一个问题的答案能在多项式时间内被核验，我们是否也能在多项式时间内找到答案？这就是 P 是否等于 NP 的问题。
“多项式时间”是复杂性理论里的精确定义，并不简单等于日常意义上的“很快”。目前 P = NP 和 P ≠ NP 都没有被接受的证明。
黎曼猜想Riemann hypothesis 1859—已等待约 167 年 404 未解决
Re(s) = ½数论
素数的分布里，是否藏着一条完美的中线？
黎曼 ζ 函数把素数的信息编码进一个复变函数。猜想说：它所有非平凡零点的实部，都恰好等于 1/2。
大量零点已经通过计算验证，但有限次验证不是对全部零点的证明。这是克雷数学研究所的千禧年难题之一。
杨–米尔斯与质量间隙Yang–Mills existence and mass gap CLAY · 2000设奖年份，非提出年份 404 未解决
Δ > 0数学物理
物理学里用得极其成功的理论，能否被严格建造出来？
对任意紧致单规范群，在四维欧几里得空间上严格构造非平凡的量子杨–米尔斯理论，并证明存在正的质量间隙：真空与最小非零激发之间隔着一段正能量。
题目包含“理论的严格存在性”和“质量间隙”两部分。实验或格点计算的支持不代替满足数学公理要求的构造与证明；经典杨–米尔斯方程的解也不能直接算作量子问题的解答。
丢番图逼近1
孤独跑者猜想Lonely runner conjecture 1967—已等待约 59 年 404 未解决
dist ≥ 1/k丢番图逼近
每个人都会有一刻，独自远离所有其他跑者吗？
k 名速度两两不同的跑者从单位圆周的同一点出发。对其中每一名跑者，是否都存在一个时刻，使其与其他每一人的圆周最短距离至少为 1/k？
每名跑者所需的时刻可以不同。对一些小人数和特殊速度配置已有结果，但一般人数仍未解决。距离按单位圆周计算，不是跑过的路程。
动力系统2
Collatz 猜想The 3n + 1 problem 1937—已等待约 89 年 404 未解决
n / 2 ↔ 3n + 1动力系统
一个小学生能懂的游戏，为什么难倒了数学家？
任选一个正整数：偶数就除以 2，奇数就乘以 3 再加 1。不断重复，猜想说你最终总会到达 1。
例如 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1。测试再多起点，也不等于证明每一个正整数都会如此。1937 年是通常采用的提出年份。
希尔伯特第十六问题：极限环Hilbert’s 16th problem · limit cycles 1900—已等待约 126 年 404 未解决
固定次数 d，是否有统一的 H(d)？动力系统
次数有限的平面多项式微分方程，最多能有多少个极限环？
对每个固定次数 d，是否存在只依赖 d 的有限数 H(d)，界住所有次数不超过 d 的实平面多项式向量场的孤立闭轨道（极限环）数目？
这里问希尔伯特第十六问题的第二部分：同一次数下的统一上界，而不是只问某一个系统的极限环是否有限；两种有限性不可混淆。
几何与拓扑1
四维光滑庞加莱猜想Smooth four-dimensional Poincaré conjecture 起点未定等待仍在继续 404 未解决
Σ⁴ ≃ S⁴ ⇒ Σ⁴ ≅diff S⁴ ?几何与拓扑
拓扑上是四维球面的空间，光滑结构也一定标准吗？
每个与标准四维球面同伦等价的闭光滑四维流形，是否都与标准四维球面微分同胚？
这是光滑范畴的四维问题。四维拓扑版与三维庞加莱猜想已有证明，并不能直接解决这个问题；不能把不同维数、同胚与微分同胚互相替换。
离散几何2
平面染色数问题Hadwiger–Nelson problem 1950—已等待约 76 年 404 未解决
5 ≤ χ(ℝ²) ≤ 7离散几何
给整个平面涂色，最少需要几种颜色？
给欧氏平面的每个点指定一种颜色，并要求任意相距 1 的两点颜色不同。所需最少颜色的精确值是多少？
经典已知界为 5 到 7。de Grey 在 2018 年的有限单位距离图把下界提高到 5；“至少 5 色”并不等于“恰好 5 色”。这里不额外要求每种颜色的点集可测。
不同距离问题：精确量级Erdős distinct distances · sharp order 1946—已等待约 80 年 404 未解决
g(n) ≍ n / √log n ?离散几何
平面上放 n 个点，至少会产生多少种不同距离？
设 g(n) 为 n 个互异平面点所能确定的最少不同距离数。是否存在上下界常数，使它的增长量级恰为 n/√log n？
Guth–Katz 的著名突破给出了约 n/log n 的下界，网格构造给出约 n/√log n 的上界。该条问剩余对数因子的精确量级，不把已解决的近最优下界重新包装成未解结果。
数论20
哥德巴赫猜想Strong Goldbach conjecture 1742—已等待约 284 年 404 未解决
2n = p + q数论
每个大于 2 的偶数，都能拆成两个素数吗？
例如 8 = 3 + 5，28 = 5 + 23。看起来如此简单，却还没有一个适用于所有大于 2 的偶数的证明。
这里指强（二元）哥德巴赫猜想。不要与已被证明的弱（三元）版本混淆：每个大于 5 的奇数都能写成三个素数之和。1742 年是相关通信的年份。
孪生素数猜想Twin prime conjecture 起点未定等待仍在继续 404 未解决
p, p + 2数论
相差 2 的素数，会永远成双出现吗？
3 和 5、11 和 13、17 和 19 都是孪生素数。猜想说，无论走到多大的数，总还有下一对。
数学家已证明某个固定间距范围内存在无穷多对素数，但尚未把这个间距缩小到 2。提出年代的归属不一，因此这里不虚构一个精确起点。
奇完全数问题Odd perfect numbers 起点未定等待仍在继续 404 未解决
σ(n) = 2n数论
一个“完美”的数，可不可以是奇数？
6 = 1 + 2 + 3，28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。这样的数等于自身所有正的真因数之和，称为完全数。
我们知道许多偶完全数，却不知道奇完全数是否存在：既没有找到一个，也没有证明它不可能存在。这里的 σ(n) 是所有正因数之和，包含 n 本身。
勒让德猜想Legendre’s conjecture 1798—已等待约 228 年 404 未解决
n² < p < (n + 1)²数论
每两个相邻的平方数之间，都藏着一个素数吗？
对每个正整数 n，开区间 (n², (n + 1)²) 里至少存在一个素数。端点不算在内。
素数定理描述总体密度，不能直接保证每一个这样短的区间都包含素数。这也是兰道在 1912 年提出的四个经典素数问题之一。
n² + 1 型素数问题Landau’s fourth prime problem LANDAU · 1912列入问题清单的年份 404 未解决
p = n² + 1数论
一个如此简单的二次式，会产出无穷多个素数吗？
是否有无穷多个正整数 n，使 n² + 1 是素数？2、5、17、37 是例子，但列举不等于证明无穷多个。
1912 年是兰道在国际数学家大会上列出这项问题的年份，不一定是最初提出年份。不要与对一次多项式适用的狄利克雷定理混为一谈。
布罗卡尔阶乘问题Brocard’s factorial problem 1876—已等待约 150 年 404 未解决
n! + 1 = m²数论
阶乘加一，何时刚好是完全平方数？
寻找正整数解 n! + 1 = m²。已知 n = 4、5、7，分别给出 m = 5、11、71；是否还有其他解？
这不是同名的“素数平方之间至少有四个素数”的 Brocard 猜想。对很多 n 的检验只排除了有限范围，不能证明解只有三组。
完美长方体问题Perfect cuboid problem 起点未定等待仍在继续 404 未解决
a² + b² + c² = d²数论
能做出一个所有对角线长度都是整数的长方体吗？
要求三条边、三个面对角线和一个空间对角线的长度，全都是正整数。这样的“完美长方体”是否存在？
只要求三个面对角线为整数的欧拉砖已经有很多例子；额外的空间对角线条件才是关键。当前既未找到满足全部条件的例子，也未证明不存在。
埃尔德什–施特劳斯猜想Erdős–Straus conjecture 1948 / 1950早期投稿 / 发表年份 404 未解决
4/n = 1/x + 1/y + 1/z数论
每个 4/n，都能拆成三个单位分数吗？
对每个整数 n ≥ 2，是否总能找到正整数 x、y、z，使 4/n = 1/x + 1/y + 1/z？这个标准版本不要求分母互异。
Erdős 问题库 #242 还陈述了 n > 2 时分母互异的版本，并记录早期论文于 1948 年投稿、1950 年发表。大规模有限验证和模数特例都不等于一般证明。
比尔猜想Beal’s conjecture 1993—已等待约 33 年 404 未解决
Aˣ + Bʸ = Cᶻ数论
把费马方程的三个指数拆开，会发生什么？
若 A、B、C、x、y、z 都是正整数，x、y、z > 2，且 Aˣ + Bʸ = Cᶻ，则 A、B、C 是否必有一个共同素因子？
共同素因子必须同时整除三个底数。许多特殊指数情形有结果，但不代表一般猜想成立；它与已证明的费马大定理也不是同一个命题。
莱默欧拉函数问题Lehmer’s totient problem 1932—已等待约 94 年 404 未解决
φ(n) ∣ n − 1数论
一个合数，能伪装出这种素数性质吗？
是否存在合数 n，使欧拉函数 φ(n) 整除 n − 1？素数自然满足条件，问题是合数能否也做到。
如果存在这样的合数，它必须满足很强的算术限制，例如为奇数且无平方因子。限制越来越多，不等于已经证明不存在。
莱默 Mahler 测度问题Lehmer’s Mahler measure problem 1933—已等待约 93 年 404 未解决
M(P) > 1 ⇒ M(P) ≥ 1 + ε ?数论
多项式的马勒测度，可以无限接近 1 吗？
是否存在统一的 ε > 0，使每个马勒测度大于 1 的首一整系数多项式 P 都满足 M(P) ≥ 1 + ε？
马勒测度衡量多项式根相对于单位圆的大小。莱默多项式给出约 1.17628 的著名例子；是否有统一间隙，以及它是否为最小值，需要区分为不同强度的断言。
利特尔伍德猜想Littlewood’s Diophantine conjecture 起点未定等待仍在继续 404 未解决
lim inf q‖qα‖‖qβ‖ = 0数论
两个实数，可以同时被分数逼近得足够好吗？
对任意实数 α、β，是否都有 lim inf（q → ∞）q‖qα‖‖qβ‖ = 0？这里 ‖x‖ 表示 x 到最近整数的距离。
对几乎所有数对已有结果，可能反例集合也受到极强限制；“几乎所有”依然不等于“所有”。该条讨论丢番图逼近，而不是其他同名 Littlewood 问题。
沙努埃尔猜想Schanuel’s conjecture 1960s不虚构精确起点 404 未解决
trdeg ℚ(z₁,…,zₙ,eᶻ¹,…,eᶻⁿ) ≥ n数论
指数函数会带来多少代数上真正独立的新数？
如果复数 z₁,…,zₙ 在有理数域上线性无关，那么由它们及其指数 eᶻ¹,…,eᶻⁿ 生成的域，在 ℚ 上的超越次数至少为 n。
它是超越数论里非常强的预测，能推出许多其他尚未证明的命题。已知的低维情形或条件性推论不能替代一般证明。
四指数猜想Four exponentials conjecture 1960s不虚构精确起点 404 未解决
至少一个 eˣⁱʸʲ 是超越数数论
四个指数值里，是否至少藏着一个超越数？
若复数 x₁、x₂ 在 ℚ 上线性无关，y₁、y₂ 也在 ℚ 上线性无关，则四个 e^(xᵢyⱼ) 中是否至少有一个超越数？
六指数定理解决了相应的 2×3 或 3×2 版本，不能直接缩成尚未证明的 2×2 版本。两个数对各自的线性无关条件都不可省略。
安德里卡猜想Andrica’s conjecture 1985—已等待约 41 年 404 未解决
√pₙ₊₁ − √pₙ < 1数论
相邻素数开平方后，间距会一直小于 1 吗？
设 pₙ 与 pₙ₊₁ 是相邻素数，猜想它们平方根的差总小于 1。这对素数之间的空隙施加了很强的限制。
大量计算检验并不能覆盖所有素数。提出年份和原始文章信息可在 Andrica 的出版物目录中追溯。
奥珀曼猜想Oppermann’s conjecture 1882—已等待约 144 年 404 未解决
n² − n < p < n² < q < n² + n数论
每个平方数的左边和右边，都有足够近的素数吗？
对每个整数 n > 1，开区间 (n² − n, n²) 和 (n², n² + n) 是否各至少包含一个素数？
它比勒让德猜想更强。素数定理给出宏观分布规律，却不足以对每一个指定的短区间作出保证。
贝特曼–霍恩猜想Bateman–Horn conjecture 1962—已等待约 64 年 404 未解决
多项式素数值的渐近计数数论
哪些多项式会同时产生素数，又会有多少次？
对于一组满足不可约性、正首项系数及局部可容许条件的非恒定整系数多项式，猜想给出它们同时取素数值的精确渐近公式。
局部可容许指不存在一个素数，必定整除每个整数输入下的多项式乘积。它不仅预测无穷多个，还预测数量；二次及多多项式的一般情形仍无证明。
哈代–利特尔伍德素数元组猜想Hardy–Littlewood prime k-tuples conjecture 1923—已等待约 103 年 404 未解决
πₕ(x) ∼ 𝔖(H)x / (log x)ᵏ数论
指定一种素数排列，它会出现多少次？
对任意可容许的有限整数位移集 H，所有 n + h（h∈H）同时为素数的 n ≤ x 的数目，应服从由奇异级数给出的渐近公式。
可容许要求对每个素数，位移集合不占满所有剩余类。H = {0,2} 就包含孪生素数的计数预测；不能把长素数等差数列定理当作对所有固定元组的证明。
布尼亚科夫斯基猜想Bunyakovsky conjecture 1857—已等待约 169 年 404 未解决
f(n) 为素数，无穷多次？数论
一个没有明显障碍的多项式，会不停地产生素数吗？
若非恒定整系数多项式 f 不可约、首项系数为正，而且它所有整数值的最大公因子为 1，则 f(n) 是否对无穷多个正整数 n 为素数？
一次多项式的情形属于狄利克雷定理。一般二次多项式已经困难，n² + 1 就是尚未解决的例子；局部条件不能省略。
欣策尔假设 HSchinzel’s hypothesis H 1958—已等待约 68 年 404 未解决
f₁(n), …, fₖ(n) 同时为素数数论
把多项式素数值问题放在一起，会有统一答案吗？
给定有限组非恒定、不可约、正首项系数的整系数多项式，若没有一个素数整除它们在每个整数输入下的乘积，则它们是否能在无穷多个正整数输入上同时为素数？
这里的局部障碍针对多项式的乘积，而不只是逐个检查每个多项式。它包含许多经典猜想；不能声称多条线性式同时为素数已全部由狄利克雷定理解决。
图论3
优美树猜想Graceful tree conjecture 1965—已等待约 61 年 404 未解决
边差恰为 1, 2, …, m图论
每棵树，都能得到一套恰到好处的数字标签吗？
每棵有 m 条边的有限树，是否都能把顶点互异标为 0,…,m，使每条边两端标签之差的绝对值，恰好各出现一次 1,…,m？
MathWorld 将猜想归于 Kotzig 的 1965 年提出。许多树类和有限规模已经验证，但任何固定顶点数的验证都不能直接构成对任意大小树的归纳证明。
埃尔德什–哈伊纳尔猜想Erdős–Hajnal conjecture 起点未定等待仍在继续 404 未解决
max(ω(G), α(G)) ≥ nᶜ图论
禁止一种小图，会不会迫使大图出现很大的整齐结构？
对每个固定有限图 H，是否存在 c > 0，使任意不含诱导 H 的 n 顶点图，都包含至少 nᶜ 个顶点的团或独立集？
c 可以依赖 H，但不能依赖 n。对很多特定 H 已有证明，几何类比也有新结果；一般图论猜想仍未解决。
哈德维格图子式猜想Hadwiger’s graph minor conjecture 1943—已等待约 83 年 404 未解决
χ(G) ≥ t ⇒ Kₜ ≼ G图论
一张图需要很多颜色，就一定藏着大完全图的“骨架”吗？
若一个有限简单图的染色数至少为 t，是否必能通过删除和收缩边，从它得到完全图 Kₜ 作为图子式？
t≤6 的情形已证明，一般情形仍开放。这里是普通图子式版本；更强的“奇图子式”版本已有反例，不能把两者的状态混在一起。
组合数学3
哈达玛矩阵猜想Hadamard matrix conjecture 起点未定等待仍在继续 404 未解决
HHᵀ = nI，4 ∣ n组合数学
每一种 4 的倍数阶数，都有这样的完美正交阵列吗？
对于每个能被 4 整除的正整数 n，是否存在一个元素全为 +1 或 −1 的 n×n 矩阵 H，使 HHᵀ = nI？
许多无限阶数族已有构造，但还不能覆盖所有 4 的倍数。矩阵和猜想的历史归属不完全相同，因此不直接拿矩阵最早出现的年份计时。
瑞瑟超图覆盖猜想Ryser’s hypergraph conjecture 起点未定等待仍在继续 404 未解决
τ(H) ≤ (r − 1)ν(H)组合数学
超图的最小覆盖，与最大匹配之间能相差多少？
对 r ≥ 2 的 r-部、r-均匀有限超图，最小顶点覆盖数 τ 是否总不超过 (r − 1) 倍的最大匹配数 ν？
r≤3 已有证明，一般情形仍开放。MathWorld 还记录了 2026 年一个 r=4、匹配数为 2 的特例证明声明，并注明截至其所列核对日未报告独立专家审查；这不是一般猜想已解。勿与循环哈达玛矩阵的同名 Ryser 猜想混淆。
并封闭集族猜想Frankl’s union-closed sets conjecture 1979—已等待约 47 年 404 未解决
某元素出现于至少一半集合组合数学
只要集合族对“取并集”封闭，就一定有一个常客吗？
设 F 是非空的有限集合族，F 中任意两个集合的并仍属于 F，且所有集合的并非空。是否必有一个元素，至少出现在 F 的一半成员中？
排除空族以及只有空集的退化情形是必要的。对特殊集合族及一般出现比例的下界已有进展，但得到一个低于 1/2 的比例并不等于证明猜想。
点击条目展开。404＝尚未解决；102＝解答已宣布、CMI 仍列 Active；200＝已证明归档。数字仅作本站状态隐喻。目录非穷尽，有限次计算验证 ≠ 数学证明。
02 / THE RESOLVED
也有等到的那一天02
Proof found.
Incident resolved.
费马大定理Fermat’s last theorem 1637—1994等待约 357 年 200 已证明
xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ数论
一条页边批注，让人类等了三个多世纪。
当整数 n > 2 时，方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解。Andrew Wiles 的证明在 Richard Taylor 的协助下补全。
1994 年完成修补，1995 年正式发表。这里用 1994 年作为等待计时的终点；不是最初宣布但存在缺口的 1993 年。
庞加莱猜想Poincaré conjecture 1904—2003等待约 99 年 200 已证明
M³ ≅ S³拓扑学
我们能仅凭空间的性质，认出一个三维球面吗？
每一个单连通的闭三维流形，都同胚于三维球面。粗略地说：这种空间里的每条闭合曲线都能连续缩成一点。
Grigori Perelman 于 2002–2003 年发布证明，随后经数学界核验，2006 年是确认过程的重要节点。计时以 2003 年为终点，不能把三维球面误解成普通实心球。
等待时长仅按年份粗略相减；证明完成、发表与同行确认可能发生在不同年份。
03 / A NOTE ON THE ABSENCE
网页是好的。
证明是没有的。
互联网上的 404，通常是某个人没放好一个文件。这里的 404，是全人类还没写出那个文件。
这个网站把一些数学悬案，存成了一份仍在等待的记录。目录并非穷尽清单；不是证明搜索引擎，也不判定新证明是否成立。每条记录都附有参考来源。
目录来源：CMI · 千禧年难题与官方状态 ↗ · Wikipedia · 数学未解决问题目录 ↗ · Wolfram MathWorld · Unsolved Problems ↗ · Open Problem Garden ↗ · Erdős Problems · 持续维护的问题库 ↗
这个钟，到底在数什么？
从公元 1 年 1 月 1 日 00:00:00 UTC 起，按向过去延伸的公历（前推格里高利历）计算。先显示完整年数，再显示当年已过天数与时、分、秒；年与天都从 0 开始计数，不包含公元 0 年。
这是一个人为选择的时间坐标，并不表示这些猜想在公元 1 年就已提出。下方条目的等待时间只按已知年份粗略计算；不确定的起点不强行计时。时钟使用访问设备的时间，不是独立授时服务。
暂停仅冻结本页显示，不影响时间本身。遗憾。
内容核对：2026-10-23 · 非实时追踪，状态以公认数学文献为准。